常见思维题二

从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。

3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。

同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

此题还有变种： 就是只需要一半人同意即可，不需要一半人以上同意方案就可以通过，在其他条件不变的情况下，1号该怎么分配才能获得最多的金币？

答案：类似的推理过程

4号：4号提出的方案的时候肯定是最终方案，因为不管5号同意不同意都能通过，所以4号5号不必担心自己被投入大海。那此时5号获得的金币为0，4号获得的金币为100。

5号：因为4号提方案的时候 ，自己获取的金币为0 。所以只要4号之前的人分配给自己的金币大于0就同意该方案。

4号：如果3号提的方案一定能获得通过（原因：3号给5号的金币大于0， 5号就同意 因此就能通过），那自己获得的金币就为0，所以只要2号让自己获得的金币大于0就会同意。

3号：因为到了自己提方案的时候可以给5号一金币，自己的方案就能通过，但考虑到2号提方案的时候给4号一个金币，2号的方案就会通过，那自己获得的金币就为0。所以只要1号让自己获得的金币大于0就会同意。

2号：因为到了自己提方案的时候只要给4号一金币，就能获得通过，根本就不用顾及3 号 5号同意不同意，所以不管1号怎么提都不会同意。

1号：2号肯定不会同意。但只要给3号一块金币，5号一块金币（因为5号如果不同意，那么4号分配的时候，他什么都拿不到）就能获得通过。
所以答案是 98，0，1，0，1。

类似的问题也可用类似的推理，并不难

一般人认为甲的枪法好，活下来的可能性大一些。但合乎推理的结论是，枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。

那么我们先来分析一下各个枪手的策略。

如同田忌赛马一般，枪手甲一定要对枪手乙先开枪。因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大，甲应该首先干掉乙，这是甲的最佳策略。

同样的道理，枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲。乙一旦将甲干掉，乙和丙进行对决，乙胜算的概率自然大很多。

枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。乙的枪法毕竟比甲差一些，丙先把甲干掉再与乙进行对决，丙的存活概率还是要高一些。

我们根据分析来计算一下三个枪手在上述情况下的存活几率：

第一轮：甲射乙，乙射甲，丙射甲。

• 甲的活率为24%（40% X 60%）
• 乙的活率为20%(100% - 80%)
• 丙的活率为100%（无人射丙）。

由于丙100％存活率，因此根据上轮甲乙存活的情况来计算三人第二轮的存活几率：

情况1：甲活乙死（24% X 80% = 19.2%）

甲射丙，丙射甲：甲的活率为60%，丙的活率为20%。

情况2：乙活甲死（20% X 76% = 15.2%）

乙射丙，丙射乙：乙的活率为60%，丙的活率为40%。

情况3：甲乙同活（24% X 20% = 4.8%）

重复第一轮。

情况4：甲乙同死（76% X 80% = 60.8%）

枪战结束。

据此来计算三人活率：

• 甲的活率为(19.2% X 60%) + (4.8% X 24%) = 12.672%
• 乙的活率为(15.2% X 60%) + (4.8% X 20%) = 10.08%
• 丙的活率为(19.2% X 20%) + (15.2% X 40%) + (4.8% X 100%) + (60.8% X 100%) = 75.52%

通过对两轮枪战的详细概率计算，我们发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法较好的甲和乙的存活几率却远低于丙的存活几率。

来自：https://www.zhihu.com/question/288093713/answer/482192781

不存在“谁活下来的可能性比较大”的问题。实际情况是5个人都要死。答案看起来很扯淡，但推理分析后却发现十分符合逻辑。

根据题意，一号知道有五个人抓豆子，为保性命，他只要让豆子在20颗以内就可以了。但是他足够聪明的话他一定拿20颗，因为无论多拿一颗：2,3,4号的人一定会拿20颗最后死的人就会是最多的1号和最少的5号 还是少拿一颗：2,3,4号拿20个后，5号选择也拿20个拉上1234号垫背。（下面会说为什么多拿少拿也只会相差一颗）

2号是知道1号抓了几颗豆子(20)的。那么，对于2号来说，只有2种选择：与1号一样多，或者不一样多。我们就从这里入手。

情况一，假如2号选择与1号的豆子数不一样多，也就是说2号选择比1号多或者比1号少。

我们先要证明，如果2号选择比1号多或者比1号少，那么他一定会选择比1号只多1颗或者只少1颗。

要证明这个并不算太难。因为每个囚犯的第一选择是先求保命，要保命就要尽量使自己的豆子数既不是最多也不是最少。当2号决定选择比1号多的时候，他已经可以保证自己不是最少，为了尽量使自己不是最多，当然比1号多出来的数量越小越好。因为这个数量如果与一号相差大于1的话，那么3号就有机会抓到的居中数，相差越大，二号成为最多的可能性也就越大。反之，当2号决定选择比1号少的时候，也是同样的道理，他会选择只比1号少1颗。既然2号只会会选择比1号多1颗或者比1号少1颗，那么1、2号的豆子数一定是2个连续的自然数，和一定是2n+1（其中1个人是n,另1人是n+1）。

轮到3号的时候，他可以从剩下的豆子数知道1、2号的数量和，也就不难计算出n的值。而3号也只有2个选择：n颗或者n+1颗。为什么呢？这与上面的证明是一样的道理，保命原则，取最接近的数量，这里不再赘述。

不过，3号选择的时候会有一个特殊情况，在这一情况下，他一定会选择较小的n，而不是较大的n+1。这一特殊情况就是，当3号知道自己选择了n后(已保证自己不是最多)，剩下的豆子数由于数量有限，4、5号中一定有人比n要少，这样自己一定可以活下来。计算的话就是 [100-(3n+1)]/2<=n ，不难算出，在这个特殊情况下，n>=20。也就是说，当1、2号选择了20或21颗的时候，3号只要选择20颗，就可以保证自己活下来。

这样一来剩下的豆子只剩39颗，4、5号至少有一人少于20颗的（这个人当然是后选的5号），这样死的将是5号和1、2号中选21颗的那个人。当然，1号、2号肯定不会有人选择21这一“倒霉”的数字（因为他们都是聪明人），这样的话，上述“特殊情况（即3号选择n）”就不会发生了。

综上所述，2345这四个人不难从剩下的豆子数知道前面几个人的数量总和，也就不难进而计算出n的值，而这样一来他们也只有n或者n+1这两种选择。最后的5号也是不难算出n的。在前4个人只选择了2个数字(n和n+1)的情况下，5号已是必死无疑，这时,根据“死也要拉几个垫背”的条件，5号会选择n或n+1，选择5个人一起完蛋。

情况二，如果2号选择了与1号不一样多的话，最终结果是5个人一起死，那么2号只有选择与1号一样多了。

那么1、2号的和就是2n，而3号如果选择n+1或者n -1的话，就又回到第一点的情况去了(前3个人的和是3m+1或3m+2)，于是3号也只能选择n ，当然，4号还是只能选n，最后的结果仍旧是5个人一起完蛋。

“最后处死抓的最多和最少的囚犯”严格执行这句话的话，除非有人舍己为人，死二留三。但这是足够聪明且自私的囚犯，所以这五个聪明人的下场是全死，这道题只不过是找了一个处死所有人的借口罢了. . . . . .

变种问题：如果每个囚犯都知道其他囚犯足够聪明，事情会怎么发展？

答案：

这样的情况下囚犯一也会像我们一样推导出前面的结论，那么根据自私的规定，他会直接拿完100个，大家一起完蛋(反正结局已定)

排除法：

1.小明肯定小强不知道是哪天，排除所有月份里有单独日的月份：6月和12月<因为如果小强的M是2或者7的话，小强就知道了，所以把6月7日与12月2日排除>，所以小明拿到的是3或者9

2.小强本来不知道，所以小强拿到的不是2或者7，但是小强现在知道了，说明把6月与12月排除后，小强拿到的是1,4,8中的一个<这里小强肯定没拿到5，否则他不会知道是哪天的>

3.小明现在也知道了，说明小明拿到的不是3，否则他不会知道是3月4日还是3月8日的，所以小明拿到的是9才能唯一确定生日

综上，答案是9月1日

排除法：

1.小明说猜不出来，说明小明拿到的不是单独出现的9或者11，说明老师生日只能是3月或者7月

2.小强原本不知道，说明小强拿到的不是单独出现的5或者7，说明老是生日是1日或3日

3.小强现在知道了，说明小强拿到的是1，因为如果拿到的是3，那么小强就不知道是3月3日还是7月3日了

综上，老师生日是3月1日